Wie breitet sich ein Schadstoff im Boden aus – und wie lässt sich das zuverlässig vorhersagen? Ausgehend von dieser Fragestellung beschäftigen wir uns in dieser Vorlesung mit der Modellierung von Diffusionsprozessen in porösen Medien (z.B. dem Erdreich) durch partielle Differentialgleichungen. Partielle Differentialgleichungen spielen eine zentrale Rolle zur Beschreibung zahlreicher physikalischer, biologischer und technischer Prozesse. In dieser Vorlesung liegt der Fokus auf der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen, die stationäre und zeitabhängige Diffusionsprozesse beschreiben. Dazu verwenden wir effiziente Raum- und Zeitdiskretisierungsverfahren. Die Modellierung praxisrelevanter Diffusionsprobleme erfordert die Bestimmung von Materialparametern aus Messdaten. Da diese nur in diskreten Punkten vorliegen, muss man mit geeigneten Data-Science-Methoden die Materialparameter in den Bereichen vorhersagen, in denen keine Daten vorliegen. Zur numerischen Simulation des Anwendungsbeispiels der Schadstoffausbreitung im Boden kombinieren wir die Finite-Elemente-Methode, Zeitdiskretisierungsverfahren und geeignete Data-Science-Methoden. Damit zeigen wir, wie numerische Mathematik und Data Science in einem aktuellen Anwendungsfeld zusammenwirken.

Folgende Themen sollen in der Vorlesung behandelt werden:

• Mathematische Modellierung von Diffusionsprozessen mit partiellen Differentialgleichungen und Behandlung eines Anwendungsbeispiels zur Ausbreitung von Schadstoffen im Boden
• Variationsformulierung und funktionalanalytische Grundlagen
• Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finite-Element-Methode: Einführung, Fehlerabschätzungen, Implementierung/Programmierung
• Zeitabhängige Probleme und numerische Verfahren zur Zeitdiskretisierung
• Modellierung unter Verwendung von unsicheren oder unvollständigen Eingangsdaten (z. B. Messwerte im Boden) mit Hilfe geeigneter Data-Science-Methoden wie zum Beispiel Kriging
• Kombination der Finite-Elemente-Methode mit den Data-Science-Methoden zur numerischen Simulation des Anwendungsbeispiels

Vorlesungen

Dozent: Prof. Dr. Axel Klawonn

• Di. 12:00 – 13:30 Uhr, Seminarraum 1 (Mathematisches Insitut)
• Do. 12:00 – 13:30 Uhr, Seminarraum 1 (Mathematisches Insitut)

Übungsbetrieb

Bei Fragen melden Sie sich bitte bei Jascha Knepper (jascha.knepper[at]uni-koeln.de, Organisationsverantwortung) oder Adam Wasiak (adam.wasiak[at]uni-koeln.de).

• Mittwoch 12:00 – 13:30 Uhr, Seminarraum 1, Mathematisches Institut, Adam Wasiak, adam.wasiak[at]uni-koeln.de | Übung/Tutorium (Vorstellung und Besprechung hpts. studentischer Lösungen; nicht alle Lösungen werden besprochen; Fragen zur Vorlesung und zu Übungen können gestellt werden)
• Donnerstag, 10:00 – 11:30 Uhr, Übungsraum 2, Gyrhofstr., Jascha Knepper, jascha.knepper[at]uni-koeln.de | Globalübung (Vorstellung der offiziellen Musterlösung)

Es wird voraussichtlich 13 Übungen geben. Die Übungsblätter werden in ILIAS hochgeladen.

Abgabe

Wann: Bis Freitag 17:00 Uhr (an Feiertagen verschiebt sich die Abgabe i.d.R. auf den nächst möglichen Tag; siehe Übungsblatt).

Wo: ILIAS / Fach im Studierendenarbeitszimmer (Mathematisches Institut)

Zulassungsvoraussetzungen zur Klausur

• 50% erreichte Übungspunkte jeweils in der ersten und zweiten Semesterhälfte und jeweils der Theorie- und der Programmieraufgaben. Vorrechnen eine Theorieaufgabe oder Präsentation einer Programmieraufgabe.
• Die erste Semesterhälfte endet nach dem 6. Blatt.

Prüfung

Es wird eine Prüfung bestehend aus einem mündlichen und einem Programmierteil geben. Die Terminplanung wird in der Vorlesung besprochen. Wenn der Termin feststeht, wird er hier gelistet.